موضوع تجريبي لشهادة البكالوريا في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 3) مع الحل

موضوع تجريبيصفحتانPDF 85 KBمع الحل

موضوع تجريبي لشهادة البكالوريا في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 3)

المدة: ثلاث ساعات ونصف

التمرين الأول (04 نقاط)

ينتج مصنع قطعًا بآلتين: الآلة $A$ تنتج $60%$ من القطع، والآلة $B$ تنتج الباقي. نسبة القطع المعيبة $2%$ عند $A$ و $5%$ عند $B$ . نختار قطعة عشوائيًا.

أنشئ شجرة الاحتمالات.
احسب احتمال أن تكون القطعة من إنتاج $A$ ومعيبة.
بيّن أن احتمال أن تكون القطعة معيبة هو $0, 032$ .
القطعة المختارة معيبة. ما احتمال أن تكون من إنتاج الآلة $A$ ؟

التمرين الثاني (04 نقاط)

$(u_{n})$ معرفة بـ: $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = 3 u_{n} + 2$ . نضع $v_{n} = u_{n} + 1$ .

بيّن أن $(v_{n})$ هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
اكتب $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ .
عيّن أصغر عدد طبيعي $n$ بحيث $u_{n} > 1000$ .
احسب $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ بدلالة $n$ .

التمرين الثالث (05 نقاط)

حل في $C$ : $z^{2} - 4 z + 8 = 0$ .
في المستوي المركب، $A$ و $B$ لاحقتاهما $z_{A} = 2 + 2 i$ و $z_{B} = 2 - 2 i$ .
1. اكتب $z_{A}$ و $z_{B}$ على الشكل الأسي.
2. احسب $\frac{z _{B}}{z _{A}}$ واستنتج طبيعة المثلث $O A B$ .
$R$ الدوران الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{π}{2}$ . بيّن أن $R (B) = A$ .
عيّن لاحقة $D$ بحيث يكون $O A D B$ متوازي أضلاع، واستنتج طبيعته.

التمرين الرابع (07 نقاط)

$f (x) = (x + 1) e^{- x}$ على $R$ ، و $(C_{f})$ تمثيلها البياني.

احسب $x \to - \infty lim f (x)$ و $x \to + \infty lim f (x)$ ، وفسّر النتيجة الثانية بيانيًا.
بيّن أن $f^{'} (x) = - x e^{- x}$ ، ثم ادرس اتجاه تغير $f$ وشكّل جدول تغيراتها.
عيّن نقطة تقاطع $(C_{f})$ مع محور الفواصل، واكتب معادلة المماس $(T)$ عندها.
تحقق أن $F (x) = - (x + 2) e^{- x}$ دالة أصلية لـ $f$ ، ثم احسب مساحة الحيز المحدد بـ $(C_{f})$ ومحور الفواصل والمستقيمين $x = 0$ و $x = 1$ .

إظهار الحل المفصل

التمرين الأول

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) الشجرة: $P (A) = 0, 6$ ، $P (B) = 0, 4$ ، $P_{A} (D) = 0, 02$ ، $P_{B} (D) = 0, 05$ .	1	4
2) $P (A \cap D) = 0, 6 \times 0, 02 = 0, 012$	1
3) $P (D) = P (A \cap D) + P (B \cap D) = 0, 012 + 0, 4 \times 0, 05 = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032$	1
4) $P_{D} (A) = \frac{P ( A \cap D )}{P ( D )} = \frac{0 , 012}{0 , 032} = 0, 375$	1

التمرين الثاني

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) $v_{n + 1} = 3 u_{n} + 3 = 3 (u_{n} + 1) = 3 v_{n}$ ؛ أساسها $3$ ، حدها الأول $v_{0} = 2$ .	1	4
2) $v_{n} = 2 \times 3^{n}$ ؛ $u_{n} = 2 \times 3^{n} - 1$	1
3) $2 \times 3^{n} > 1001$ ⟺ $n > \frac{ln 500 , 5}{ln 3} \approx 5, 66$ ، إذن $n = 6$ (تحقق: $u_{5} = 485$ ، $u_{6} = 1457$ ).	1
4) $S_{n} = 2 \times \frac{3 ^{n + 1} - 1}{3 - 1} = 3^{n + 1} - 1$	1

التمرين الثالث

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) $Δ = 16 - 32 = - 16 = (4 i)^{2}$ ؛ $z = 2 - 2 i$ أو $z = 2 + 2 i$	1	5
2-أ) $∣ z_{A} ∣ = 22$ ؛ $z_{A} = 22 e^{i \frac{π}{4}}$ ؛ $z_{B} = 22 e^{- i \frac{π}{4}}$	1
ب) $\frac{z _{B}}{z _{A}} = e^{- i \frac{π}{2}} = - i$	0,5
$O B = O A$ و $(O A, O B) = - \frac{π}{2}$ : المثلث $O A B$ قائم ومتساوي الساقين في $O$ .	1
3) $z^{'} = i z$ ؛ $i z_{B} = i (2 - 2 i) = 2 + 2 i = z_{A}$ ، إذن $R (B) = A$ .	0,75
4) $z_{D} = z_{A} + z_{B} = 4$ ؛ متوازي أضلاع فيه زاوية قائمة وضلعان متتاليان متقايسان: $O A D B$ مربع.	0,75

التمرين الرابع

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ (لأن $x + 1 \to - \infty$ و $e^{- x} \to + \infty$ )	0,75	7
$x \to + \infty lim f (x) = lim (x e^{- x} + e^{- x}) = 0$ ؛ المستقيم $y = 0$ مقارب أفقي بجوار $+ \infty$ .	0,75
2) $f^{'} (x) = e^{- x} - (x + 1) e^{- x} = - x e^{- x}$	1
$f$ متزايدة على $] - \infty; 0]$ ، متناقصة على $[0; + \infty [$ ، وقيمتها العظمى $f (0) = 1$ .	1
3) $f (x) = 0$ ⟺ $x = - 1$ ؛ النقطة $(- 1; 0)$ .	0,75
$f^{'} (- 1) = e$ ، إذن $(T) : y = e (x + 1)$	0,75
4) $F^{'} (x) = - e^{- x} + (x + 2) e^{- x} = (x + 1) e^{- x} = f (x)$	1
$f (x) \geq 0$ على $[0; 1]$ ، $A = F (1) - F (0) = - 3 e^{- 1} + 2 = (2 - \frac{3}{e}) u.a \approx 0, 90 u.a$	1

موضوع تجريبي لشهادة البكالوريا في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 3) (المدة: ثلاث ساعات ونصف). موضوع مقترح مع الحل المفصل يتناول: الاحتمالات الشرطية ودستور الاحتمالات الكلية، متتالية مساعدة هندسية واللوغاريتم، الأعداد المركبة: الشكل الأسي والدوران والمربع، دراسة دالة أسية (x+1)e^-x وحساب مساحة. للمعاينة والتحميل المجاني PDF.

ملفات أخرى في نفس المادة

عرض الكل