اختبار الفصل الأول في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 2) — السنة الثالثة ثانوي مع الحل

اختبارالفصل الأولصفحة واحدةPDF 74 KBمع الحل

تحميل الموضوع PDF تحميل الحل PDF

اختبار الفصل الأول في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 2)

المدة: ثلاث ساعات

التمرين الأول (6 نقاط)

$(u_{n})$ معرفة بـ: $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}$ (نقبل أن $u_{n} > 0$ من أجل كل $n$ ).

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
نضع $v_{n} = \frac{1}{u _{n}}$ . بيّن أن $(v_{n})$ متتالية حسابية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
اكتب $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ ، واحسب $n \to + \infty lim u_{n}$ .
احسب $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ .

التمرين الثاني (8 نقاط)

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ معرفة على $R$ .

احسب نهايتي $f$ عند $- \infty$ و $+ \infty$ .
احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها، ثم شكّل جدول تغيرات $f$ .
تحقق أن $f (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}$ ثم حل المعادلة $f (x) = 0$ .
اكتب معادلة المماس للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة $1$ .

التمرين الثالث (6 نقاط)

$g (x) = \frac{x ^{2} + x + 1}{x}$ معرفة على $] 0; + \infty [$ .

بيّن أن $g (x) = x + 1 + \frac{1}{x}$ ، واستنتج مستقيمًا مقاربًا مائلًا.
احسب $g^{'} (x)$ وادرس اتجاه تغير $g$ .
استنتج أن $g (x) \geq 3$ من أجل كل $x > 0$ .

إظهار الحل المفصل

حل التمرين الأول

$u_{1} = \frac{1}{2}$ ، $u_{2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$
$v_{n + 1} = \frac{1 + u _{n}}{u _{n}} = \frac{1}{u _{n}} + 1 = v_{n} + 1$ : حسابية أساسها $1$ وحدها الأول $v_{0} = 1$ .
$v_{n} = n + 1$ ، $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ ، $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( v _{0} + v _{n} )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$

حل التمرين الثاني

$x \to - \infty lim f (x) = lim x^{3} = - \infty$ ؛ $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ : موجبة على $] - \infty; 0 [$ و $] 2; + \infty [$ ، سالبة على $] 0; 2 [$ . $f$ متزايدة ثم متناقصة ثم متزايدة، مع $f (0) = 4$ (قيمة حدية عظمى محلية) و $f (2) = 0$ (صغرى محلية).
$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + x^{2} - 4 x + 4 = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ✓. الحلول: $x = - 1$ و $x = 2$ (مضاعف).
$f (1) = 2$ ، $f^{'} (1) = - 3$ : $y = - 3 (x - 1) + 2$ أي $y = - 3 x + 5$ .

حل التمرين الثالث

$\frac{x ^{2} + x + 1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$ ؛ و $g (x) - (x + 1) = \frac{1}{x} \to 0$ عند $+ \infty$ : المستقيم $y = x + 1$ مقارب مائل.
$g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$ : سالبة على $] 0; 1 [$ وموجبة على $] 1; + \infty [$ .
القيمة الحدية الصغرى $g (1) = 3$ ، إذن $g (x) \geq 3$ .

اختبار الفصل الأول في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 2) للسنة الثالثة ثانوي (المدة: ثلاث ساعات). موضوع مقترح مع الحل المفصل يتناول: متتالية مقلوبها حسابية، نهاية متتالية ومجموع حدود، دراسة دالة كثير حدود من الدرجة الثالثة وتحليلها، معادلة المماس، المستقيم المقارب المائل والقيمة الحدية. للمعاينة والتحميل المجاني PDF.

ملفات أخرى في نفس المادة

عرض الكل