Mathematics exam – Term 1 – 3rd year secondary (n°2)

ExamTerm 11 pagePDF 74 KBWith answers

Download paper (PDF) Download answers (PDF)

اختبار الفصل الأول في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 2)

Duration: ثلاث ساعات

التمرين الأول (6 نقاط)

$(u_{n})$ معرفة بـ: $u_{0} = 1$ و $u_{n + 1} = \frac{u _{n}}{1 + u _{n}}$ (نقبل أن $u_{n} > 0$ من أجل كل $n$ ).

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
نضع $v_{n} = \frac{1}{u _{n}}$ . بيّن أن $(v_{n})$ متتالية حسابية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
اكتب $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ ، واحسب $n \to + \infty lim u_{n}$ .
احسب $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$ .

التمرين الثاني (8 نقاط)

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ معرفة على $R$ .

احسب نهايتي $f$ عند $- \infty$ و $+ \infty$ .
احسب $f^{'} (x)$ وادرس إشارتها، ثم شكّل جدول تغيرات $f$ .
تحقق أن $f (x) = (x + 1) (x - 2)^{2}$ ثم حل المعادلة $f (x) = 0$ .
اكتب معادلة المماس للمنحنى عند النقطة ذات الفاصلة $1$ .

التمرين الثالث (6 نقاط)

$g (x) = \frac{x ^{2} + x + 1}{x}$ معرفة على $] 0; + \infty [$ .

بيّن أن $g (x) = x + 1 + \frac{1}{x}$ ، واستنتج مستقيمًا مقاربًا مائلًا.
احسب $g^{'} (x)$ وادرس اتجاه تغير $g$ .
استنتج أن $g (x) \geq 3$ من أجل كل $x > 0$ .

Show the answers

حل التمرين الأول

$u_{1} = \frac{1}{2}$ ، $u_{2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$
$v_{n + 1} = \frac{1 + u _{n}}{u _{n}} = \frac{1}{u _{n}} + 1 = v_{n} + 1$ : حسابية أساسها $1$ وحدها الأول $v_{0} = 1$ .
$v_{n} = n + 1$ ، $u_{n} = \frac{1}{n + 1}$ ، $n \to + \infty lim u_{n} = 0$ .
$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( v _{0} + v _{n} )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2}$

حل التمرين الثاني

$x \to - \infty lim f (x) = lim x^{3} = - \infty$ ؛ $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ : موجبة على $] - \infty; 0 [$ و $] 2; + \infty [$ ، سالبة على $] 0; 2 [$ . $f$ متزايدة ثم متناقصة ثم متزايدة، مع $f (0) = 4$ (قيمة حدية عظمى محلية) و $f (2) = 0$ (صغرى محلية).
$(x + 1) (x^{2} - 4 x + 4) = x^{3} - 4 x^{2} + 4 x + x^{2} - 4 x + 4 = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ ✓. الحلول: $x = - 1$ و $x = 2$ (مضاعف).
$f (1) = 2$ ، $f^{'} (1) = - 3$ : $y = - 3 (x - 1) + 2$ أي $y = - 3 x + 5$ .

حل التمرين الثالث

$\frac{x ^{2} + x + 1}{x} = x + 1 + \frac{1}{x}$ ؛ و $g (x) - (x + 1) = \frac{1}{x} \to 0$ عند $+ \infty$ : المستقيم $y = x + 1$ مقارب مائل.
$g^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x ^{2}} = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 )}{x ^{2}}$ : سالبة على $] 0; 1 [$ وموجبة على $] 1; + \infty [$ .
القيمة الحدية الصغرى $g (1) = 3$ ، إذن $g (x) \geq 3$ .

Mathematics exam – Term 1 – 3rd year secondary (n°2). Free PDF following the Algerian curriculum, with a model answer key, to preview and download for 3rd year secondary Mathematics revision.

More files in this subject

See all