Mathematics test – Term 1 – 3rd year secondary (n°2)

1) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$ ؛ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3=+\infty$

2) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$

$f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ;-1[\cup ]1;+\infty [$ و $f^{\prime }(x)<0$ على $]-1;1[$: $f$ متزايدة تمامًا على $]-\infty ;-1]$ وعلى $[1;+\infty [$ ، ومتناقصة تمامًا على $[-1;1]$.

$f(-1)=-1+3+1=3$ ؛ $f(1)=1-3+1=-1$

جدول التغيرات: من $-\infty$ تتزايد إلى $3$ ، تتناقص إلى $-1$ ، ثم تتزايد إلى $+\infty$.

3) على $]-\infty ;-1]$: $f$ مستمرة ومتزايدة تمامًا وتأخذ قيمها في $]-\infty ;3]$ التي تشمل $0$: حل وحيد.

على $[-1;1]$: $f$ مستمرة ومتناقصة تمامًا من $3$ إلى $-1$: حل وحيد.

على $[1;+\infty [$: $f$ مستمرة ومتزايدة تمامًا من $-1$ إلى $+\infty$: حل وحيد. إذن ثلاثة حلول.

4) $f(0)=1>0$ و $f(1)=-1<0$ و $f$ مستمرة ومتناقصة تمامًا على $[0;1]$ ، إذن يوجد حل وحيد $\alpha \in ]0;1[$.

$f(0,3)=0,027-0,9+1=0,127>0$ و $f(0,4)=0,064-1,2+1=-0,136<0$ ، إذن $0,3<\alpha <0,4$.

5) $f(0)=1$ و $f^{\prime }(0)=-3$

$(T):y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)$ أي $y=-3x+1$