Mathematics exam – Term 1 – 3rd year secondary (n°3)

1) $u_1=2$ ؛ $u_2=\frac{2}{3}+2=\frac{8}{3}$

2) $v_{n+1}=\frac{1}{3}{u}_n-1=\frac{1}{3}(u_n-3)=\frac{1}{3}{v}_n$ ؛ أساسها $\frac{1}{3}$ وحدها الأول $v_0=-3$.

3) $v_n=-3{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ ومنه $u_n=3-3{\left(\frac{1}{3}\right)}^n$

$\lim u_n=3$ لأن $\lim {\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$.

4) $S_n=3(n+1)+\left(v_0+\cdots +v_n\right)=3(n+1)-3\times \frac{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}}{\frac{2}{3}}=3(n+1)-\frac{9}{2}\left[1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{n+1}\right]$

1) $x+\frac{1}{x+1}=\frac{x^2+x+1}{x+1}$

2) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-\infty$ ؛ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$

$\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$ ؛ $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$

3) $x=-1$ مقارب عمودي.

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left[f(x)-x\right]=\lim \frac{1}{x+1}=0$: $y=x$ مقارب مائل.

$f(x)-x=\frac{1}{x+1}$: $(C_f)$ فوق المائل على $]-1;+\infty [$ وتحته على $]-\infty ;-1[$.

4) $f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{(x+1{)}^2}=\frac{(x+1{)}^2-1}{(x+1{)}^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1{)}^2}$

$f$ متزايدة على $]-\infty ;-2]$ و $[0;+\infty [$ ، متناقصة على $[-2;-1[$ و $]-1;0]$ ؛ قيمة حدية عظمى محلية $f(-2)=-3$ وصغرى محلية $f(0)=1$.

5) من أجل $x\ne -1$: $-2-x\ne -1$ و $f(-2-x)+f(x)=-2-x-\frac{1}{x+1}+x+\frac{1}{x+1}=-2=2\times (-1)$ ، إذن $\Omega (-1;-1)$ مركز تناظر.

6) $f(1)=\frac{3}{2}$ ، $f^{\prime }(1)=\frac{3}{4}$: $y=\frac{3}{4}(x-1)+\frac{3}{2}=\frac{3}{4}x+\frac{3}{4}$