Mathematics exam – Term 1 – 3rd year secondary

ExamTerm 11 pagePDF 76 KBWith answers

Download paper (PDF) Download answers (PDF)

اختبار الفصل الأول في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية

Duration: ثلاث ساعات

التمرين الأول (7 نقاط)

$(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ: $u_{0} = 2$ ومن أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
نضع من أجل كل $n$ : $v_{n} = u_{n} - 6$ . بيّن أن $(v_{n})$ متتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
اكتب $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ .
احسب $n \to + \infty lim u_{n}$ .
احسب بدلالة $n$ المجموع: $S_{n} = v_{0} + v_{1} + \dots + v_{n}$

التمرين الثاني (7 نقاط)

$f$ الدالة المعرفة على $] - 1; + \infty [$ بـ: $f (x) = \frac{2 x - 1}{x + 1}$ و $(C_{f})$ تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس.

احسب $x \to - 1^{+} lim f (x)$ و $x \to + \infty lim f (x)$ ، ثم فسّر النتيجتين بيانيًا.
بيّن أنه من أجل كل $x$ من $] - 1; + \infty [$ : $f^{'} (x) = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ ، ثم استنتج اتجاه تغير $f$ .
شكّل جدول تغيرات $f$ .
اكتب معادلة المماس $(T)$ لـ $(C_{f})$ عند النقطة ذات الفاصلة $0$ .

التمرين الثالث (6 نقاط)

$g$ الدالة المعرفة على $R$ بـ: $g (x) = x^{3} - 3 x + 1$

احسب $g^{'} (x)$ وادرس إشارتها، ثم شكّل جدول تغيرات $g$ (احسب $g (- 1)$ و $g (1)$ ).
بيّن أن المعادلة $g (x) = 0$ تقبل حلًا وحيدًا $α$ في المجال $] 1; 2 [$ .
تحقق أن: $1, 5 < α < 1, 6$

Show the answers

حل التمرين الأول

$u_{1} = \frac{1}{2} \times 2 + 3 = 4$ ، $u_{2} = \frac{1}{2} \times 4 + 3 = 5$
$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} u_{n} + 3 - 6 = \frac{1}{2} u_{n} - 3 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} v_{n}$
إذن $(v_{n})$ هندسية أساسها $q = \frac{1}{2}$ وحدها الأول $v_{0} = u_{0} - 6 = - 4$ .
$v_{n} = - 4 (\frac{1}{2})^{n}$ ، $u_{n} = v_{n} + 6 = 6 - 4 (\frac{1}{2})^{n}$
بما أن $0 < \frac{1}{2} < 1$ فإن $n \to + \infty lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$ ، إذن $n \to + \infty lim u_{n} = 6$ .
$S_{n} = v_{0} \times \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} = - 4 \times \frac{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{n + 1}}{\frac{1}{2}} = - 8 (1 - (\frac{1}{2})^{n + 1})$

حل التمرين الثاني

$x \to - 1^{+} lim (2 x - 1) = - 3$ و $x \to - 1^{+} lim (x + 1) = 0^{+}$ إذن $x \to - 1^{+} lim f (x) = - \infty$ : المستقيم $x = - 1$ مقارب عمودي.
$x \to + \infty lim f (x) = x \to + \infty lim \frac{2 x}{x} = 2$ : المستقيم $y = 2$ مقارب أفقي بجوار $+ \infty$ .
$f^{'} (x) = \frac{2 ( x + 1 ) - 1 \times ( 2 x - 1 )}{( x + 1 ) ^{2}} = \frac{3}{( x + 1 ) ^{2}}$ . بما أن $f^{'} (x) > 0$ ، الدالة $f$ متزايدة تمامًا على $] - 1; + \infty [$ .
$f$ تتزايد من $- \infty$ (عند $- 1^{+}$ ) إلى $2$ (عند $+ \infty$ ).
$f (0) = - 1$ ، $f^{'} (0) = 3$ : $(T) : y = f^{'} (0) (x - 0) + f (0)$ أي $y = 3 x - 1$ .

حل التمرين الثالث

$g^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x - 1) (x + 1)$ : موجبة على $] - \infty; - 1 [$ و $] 1; + \infty [$ ، سالبة على $] - 1; 1 [$ .
$g$ متزايدة على $] - \infty; - 1]$ ، متناقصة على $[- 1; 1]$ ، متزايدة على $[1; + \infty [$ ، مع $g (- 1) = 3$ و $g (1) = - 1$ .
$g$ مستمرة ومتزايدة تمامًا على $[1; 2]$ ، و $g (1) = - 1 < 0$ ، $g (2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0$ . حسب مبرهنة القيم المتوسطة، المعادلة $g (x) = 0$ تقبل حلًا وحيدًا $α \in] 1; 2 [$ .
$g (1, 5) = 3, 375 - 4, 5 + 1 = - 0, 125 < 0$ و $g (1, 6) = 4, 096 - 4, 8 + 1 = 0, 296 > 0$ ، إذن $1, 5 < α < 1, 6$ .

Mathematics exam – Term 1 – 3rd year secondary. Free PDF following the Algerian curriculum, with a model answer key, to preview and download for 3rd year secondary Mathematics revision.

More files in this subject

See all