Mathematics test – Term 1 – 3rd year secondary (n°3)

TestTerm 11 pagePDF 65 KBWith answers

Download paper (PDF) Download answers (PDF)

فرض الفصل الأول في الرياضيات — السنة الثالثة ثانوي علوم تجريبية (النموذج 3)

Duration: ساعة

التمرين (20 نقطة)

$(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ: $u_{0} = 1$ ، ومن أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ .

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
برهن بالتراجع أنه من أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n} < 6$ .
بيّن أن $(u_{n})$ متزايدة تمامًا. ماذا تستنتج؟
نضع $v_{n} = u_{n} - 6$ .
أ) بيّن أن $(v_{n})$ متتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
ب) اكتب $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ .
ج) احسب $n \to + \infty lim u_{n}$ .

Show the answers

التمرين

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) $u_{1} = \frac{1}{2} + 3 = \frac{7}{2}$ ؛ $u_{2} = \frac{7}{4} + 3 = \frac{19}{4}$	2×1	20
2) التحقق: $u_{0} = 1 < 6$ .	1
الوراثة: نفرض $u_{n} < 6$ ، إذن $\frac{1}{2} u_{n} < 3$ ومنه $\frac{1}{2} u_{n} + 3 < 6$ أي $u_{n + 1} < 6$ .	3
الخلاصة: من أجل كل $n$ : $u_{n} < 6$ .	1
3) $u_{n + 1} - u_{n} = - \frac{1}{2} u_{n} + 3 = \frac{1}{2} (6 - u_{n}) > 0$ لأن $u_{n} < 6$ ، إذن $(u_{n})$ متزايدة تمامًا.	3
نستنتج: $(u_{n})$ متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ 6، فهي متقاربة.	1
4-أ) $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 6 = \frac{1}{2} u_{n} - 3 = \frac{1}{2} (u_{n} - 6) = \frac{1}{2} v_{n}$ ؛ أساسها $q = \frac{1}{2}$ وحدها الأول $v_{0} = 1 - 6 = - 5$ .	3
ب) $v_{n} = - 5 (\frac{1}{2})^{n}$	2
$u_{n} = 6 - 5 (\frac{1}{2})^{n}$	2
ج) $lim (\frac{1}{2})^{n} = 0$ لأن $0 < \frac{1}{2} < 1$ ، إذن $lim u_{n} = 6$ .	2

Mathematics test – Term 1 – 3rd year secondary (n°3). Free PDF following the Algerian curriculum, with a model answer key, to preview and download for 3rd year secondary Mathematics revision.

More files in this subject

See all