Mathematics exam – Term 1 – 3rd year secondary (n°4)

1) $u_5-u_2=3r$ ، أي $9=3r$ ومنه $r=3$.

$u_0=u_2-2r=7-6=1$

2) $u_n=1+3n$

$u_{20}=61$

3) $1+3n=2026$ ⟺ $n=\frac{2025}{3}=675$ ، وهو عدد طبيعي، إذن $2026=u_{675}$ حد من حدود المتتالية.

4) $S_n=\frac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}=\frac{(n+1)(3n+2)}{2}$

$S_9=\frac{10\times 29}{2}=145$

1) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3=-\infty$ ؛ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$

2) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$

$f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ;-1[$ و $]1;+\infty [$ ، و $f^{\prime }(x)<0$ على $]-1;1[$.

جدول التغيرات: $f$ متزايدة على $]-\infty ;-1]$ ، متناقصة على $[-1;1]$ ، متزايدة على $[1;+\infty [$ ؛ $f(-1)=3$ ، $f(1)=-1$.

3) على $]-\infty ;-1]$: $f$ مستمرة ومتزايدة تمامًا من $-\infty$ إلى $3$ ، فتقبل $f(x)=0$ حلًا وحيدًا ؛ وبالمثل على $[-1;1]$ (من $3$ إلى $-1$) وعلى $[1;+\infty [$ (من $-1$ إلى $+\infty$): ثلاثة حلول.

$f(0)=1>0$ و $f(1)=-1<0$ ، إذن $0<\alpha <1$.

$f(0,3)=0,127>0$ و $f(0,4)=-0,136<0$ ، إذن $0,3<\alpha <0,4$.

4) من أجل كل $x$: $f(-x)+f(x)=(-x^3+3x+1)+(x^3-3x+1)=2=2\times 1$ ، إذن $\Omega (0;1)$ مركز تناظر.

5) $f(0)=1$ ، $f^{\prime }(0)=-3$: $(T):y=-3x+1$

6) $f(x)-(-3x+1)=x^3$: $(C_f)$ تحت $(T)$ على $]-\infty ;0[$ ، وفوقه على $]0;+\infty [$ ، ويقطعه في $\Omega$ (نقطة انعطاف).