Mathematics mock paper – Baccalaureate (BAC) sujet 1

Mock paper1 pagePDF 83 KBWith answers

Download paper (PDF) Download answers (PDF)

موضوع تجريبي لشهادة البكالوريا في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية

Duration: ثلاث ساعات ونصف

التمرين الأول (4 نقاط)

يحتوي كيس على $7$ كريات لا نفرق بينها باللمس: $4$ حمراء و $3$ خضراء. نسحب عشوائيًا وفي آن واحد كريتين.

احسب عدد السحبات الممكنة.
احسب احتمال الحادثة $A$ : «سحب كريتين من نفس اللون».
ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يرفق بكل سحبة عدد الكريات الحمراء المسحوبة. عيّن قانون احتمال $X$ ، ثم احسب أمله الرياضياتي $E (X)$ .

التمرين الثاني (4 نقاط)

حل في مجموعة الأعداد المركبة $C$ المعادلة: $z^{2} - 2 z + 4 = 0$
نسمي $z_{1}$ الحل الذي جزؤه التخيلي موجب. اكتب $z_{1}$ على الشكل الأسي.
احسب $z_{1}^{3}$ ، واستنتج أن $z_{1}^{3}$ عدد حقيقي.
في المستوي المركب، $A$ و $B$ صورتا $z_{1}$ و $z_{1}$ . احسب الأطوال $O A$ و $O B$ و $A B$ ، ثم استنتج طبيعة المثلث $O A B$ .

التمرين الثالث (5 نقاط)

$(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ: $u_{0} = 3$ ومن أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n + 1} = 2 u_{n} - 1$

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
نضع $v_{n} = u_{n} - 1$ . بيّن أن $(v_{n})$ هندسية، ثم اكتب $u_{n}$ بدلالة $n$ واحسب $n \to + \infty lim u_{n}$ .
نضع $w_{n} = ln (v_{n})$ . بيّن أن $(w_{n})$ متتالية حسابية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
احسب بدلالة $n$ المجموع: $S_{n} = w_{0} + w_{1} + \dots + w_{n}$

التمرين الرابع (7 نقاط)

$f$ الدالة المعرفة على $R$ بـ: $f (x) = (x - 1) e^{x} + 1$ و $(C_{f})$ تمثيلها البياني في معلم متعامد ومتجانس $(O; i, j)$ .

احسب $x \to - \infty lim f (x)$ وفسّر النتيجة بيانيًا، ثم احسب $x \to + \infty lim f (x)$ .
بيّن أن $f^{'} (x) = x e^{x}$ ، ثم ادرس اتجاه تغير $f$ وشكّل جدول تغيراتها.
استنتج أنه من أجل كل $x \in R$ : $f (x) \geq 0$ .
اكتب معادلة المماس $(T)$ لـ $(C_{f})$ عند النقطة ذات الفاصلة $1$ .
بيّن أن الدالة $F (x) = (x - 2) e^{x} + x$ دالة أصلية لـ $f$ على $R$ .
احسب مساحة الحيز المستوي المحدد بـ $(C_{f})$ ومحور الفواصل والمستقيمين $x = 0$ و $x = 1$ .

Show the answers

حل التمرين الأول

عدد السحبات: $C_{7}^{2} = 21$
$P (A) = \frac{C _{4}^{2} + C _{3}^{2}}{21} = \frac{6 + 3}{21} = \frac{3}{7}$
قيم $X$ : $0$ ، $1$ ، $2$ .

$x_{i}$ $0$ $1$ $2$

$P (X = x_{i})$ $\frac{C _{3}^{2}}{21} = \frac{1}{7}$ $\frac{C _{4}^{1} C _{3}^{1}}{21} = \frac{4}{7}$ $\frac{C _{4}^{2}}{21} = \frac{2}{7}$

$E (X) = 0 \times \frac{1}{7} + 1 \times \frac{4}{7} + 2 \times \frac{2}{7} = \frac{8}{7}$

$x_{i}$	$0$	$1$	$2$
$P (X = x_{i})$	$\frac{C _{3}^{2}}{21} = \frac{1}{7}$	$\frac{C _{4}^{1} C _{3}^{1}}{21} = \frac{4}{7}$	$\frac{C _{4}^{2}}{21} = \frac{2}{7}$

حل التمرين الثاني

$Δ = 4 - 16 = - 12 = (2 i 3)^{2}$ ، إذن $z_{1} = 1 + i 3$ و $z_{2} = 1 - i 3$ .
$∣ z_{1} ∣ = 1 + 3 = 2$ ، و $cos θ = \frac{1}{2}$ ، $sin θ = \frac{3}{2}$ أي $θ = \frac{π}{3}$ . إذن $z_{1} = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ .
$z_{1}^{3} = 2^{3} e^{iπ} = 8 \times (- 1) = - 8$ ، عدد حقيقي.
$O A = ∣ z_{1} ∣ = 2$ ، $O B = ∣ z_{1} ∣ = 2$ ، $A B = ∣ z_{1} - z_{1} ∣ = ∣2 i 3 ∣ = 23$ .
$O A = O B$ إذن المثلث $O A B$ متساوي الساقين رأسه $O$ ، وزاويته $A O B = \frac{π}{3} - (- \frac{π}{3}) = \frac{2 π}{3}$ .

حل التمرين الثالث

$u_{1} = 2 \times 3 - 1 = 5$ ، $u_{2} = 2 \times 5 - 1 = 9$
$v_{n + 1} = u_{n + 1} - 1 = 2 u_{n} - 2 = 2 (u_{n} - 1) = 2 v_{n}$ : هندسية أساسها $2$ وحدها الأول $v_{0} = 2$ .
$v_{n} = 2 \times 2^{n} = 2^{n + 1}$ ، $u_{n} = 2^{n + 1} + 1$ ، و $n \to + \infty lim u_{n} = + \infty$ (لأن $2 > 1$ ).
$w_{n} = ln (2^{n + 1}) = (n + 1) ln 2$ ، و $w_{n + 1} - w_{n} = ln 2$ : حسابية أساسها $ln 2$ وحدها الأول $w_{0} = ln 2$ .
$S_{n} = \frac{( n + 1 ) ( w _{0} + w _{n} )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( ln 2 + ( n + 1 ) ln 2 )}{2} = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 )}{2} ln 2$

حل التمرين الرابع

$x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ و $x \to - \infty lim e^{x} = 0$ ، إذن $x \to - \infty lim f (x) = 1$ : المستقيم $y = 1$ مقارب أفقي بجوار $- \infty$ .
$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
$f^{'} (x) = e^{x} + (x - 1) e^{x} = x e^{x}$ . إشارتها من إشارة $x$ : $f$ متناقصة على $] - \infty; 0]$ ومتزايدة على $[0; + \infty [$ ، و $f (0) = - 1 + 1 = 0$ .
القيمة الحدية الصغرى لـ $f$ هي $f (0) = 0$ ، إذن $f (x) \geq 0$ من أجل كل $x$ .
$f (1) = 1$ ، $f^{'} (1) = e$ : $(T) : y = e (x - 1) + 1$ أي $y = e x - e + 1$ .
$F^{'} (x) = e^{x} + (x - 2) e^{x} + 1 = (x - 1) e^{x} + 1 = f (x)$ .
بما أن $f (x) \geq 0$ : $A = \int_{0}^{1} f (x) d x = F (1) - F (0) = (- e + 1) - (- 2) = 3 - e \approx 0, 28 u.a$

Mathematics mock paper – Baccalaureate (BAC) sujet 1. Free PDF following the Algerian curriculum, with a model answer key, to preview and download for Baccalaureate (BAC) Mathematics revision.

More files in this subject

See all