Mathematics mock paper – Baccalaureate (BAC) sujet 4 (n°4)

1) $\overrightarrow{AB}(1;1;-2)$ ، $\overrightarrow{AC}(-1;1;-1)$ غير مرتبطين خطيًا (المركبات غير متناسبة).

2) $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=1+3-4=0$ ، $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AC}=-1+3-2=0$

$(ABC):x+3y+2z-5=0$

3) $d=\frac{|-5|}{\sqrt{1+9+4}}=\frac{5}{\sqrt{14}}$

4) $H(t;3t;2t)$ و $14t=5$ ، إذن $H\left(\frac{5}{14};\frac{15}{14};\frac{5}{7}\right)$

1) $C_6^2=15$ ؛ قيم $X$: $\{2;3;4;5\}$

2) $P(X=2)=\frac{C_2^2}{15}=\frac{1}{15}$ ؛ $P(X=3)=\frac{2\times 3}{15}=\frac{6}{15}$ ؛ $P(X=4)=\frac{2\times 1+C_3^2}{15}=\frac{5}{15}$ ؛ $P(X=5)=\frac{3\times 1}{15}=\frac{3}{15}$

3) $E(X)=\frac{2+18+20+15}{15}=\frac{55}{15}=\frac{11}{3}$

1) $u_0=0$ يحقق. إذا كان $0\le u_n<2$ فإن $2\le 2+u_n<4$ ومنه $\sqrt{2}\le u_{n+1}<2$.

2) $u_{n+1}-u_n=\frac{2+u_n-u_n^2}{\sqrt{2+u_n}+u_n}=\frac{(2-u_n)(1+u_n)}{\sqrt{2+u_n}+u_n}>0$ ؛ متزايدة ومحدودة من الأعلى فهي متقاربة.

3) $2-u_{n+1}=\frac{4-(2+u_n)}{2+\sqrt{2+u_n}}=\frac{2-u_n}{2+\sqrt{2+u_n}}\le \frac{2-u_n}{2}$

بالتكرار: $2-u_n\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^n(2-u_0)=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

4) بالحصر: $\lim (2-u_n)=0$ ، إذن $\lim u_n=2$

1) $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=-\infty$: المستقيم $x=0$ مقارب عمودي.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=0$: المستقيم $y=0$ مقارب أفقي.

2) $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$

$f$ متزايدة على $]0;e]$ ، متناقصة على $[e;+\infty [$ ، و $f(e)=\frac{1}{e}$.

3) $f(1)=0$ ، $f^{\prime }(1)=1$: $y=x-1$

4) $m\le 0$: حل واحد ؛ $0<m<\frac{1}{e}$: حلان ؛ $m=\frac{1}{e}$: حل واحد ($x=e$) ؛ $m>\frac{1}{e}$: لا حلول.

5) ${\int }_1^e\frac{\ln x}{x}dx={\left[\frac{(\ln x{)}^2}{2}\right]}_1^e=\frac{1}{2}$ ، وهي مساحة الحيز تحت $(C_f)$ بين $1$ و $e$ (لأن $f\ge 0$ عليه).