Examen Mathématiques – 1er trimestre – 3e année secondaire (n°5)

1) $u_1=\frac{2}{3}$ ؛ $u_2=\frac{2/3}{5/3}=\frac{2}{5}$

2-أ) $v_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_n}=\frac{1}{u_n}+1=v_n+1$ ؛ حسابية أساسها $r=1$ وحدها الأول $v_0=\frac{1}{2}$.

ب) $v_n=\frac{1}{2}+n$

$u_n=\frac{1}{v_n}=\frac{2}{2n+1}$

3) $\lim u_n=0$ لأن $\lim (2n+1)=+\infty$.

4) $S_n=\frac{(n+1)(v_0+v_n)}{2}=\frac{(n+1)(n+1)}{2}=\frac{(n+1{)}^2}{2}$

1) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=\lim x^3=-\infty$ ؛ $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=+\infty$

2) $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$

$f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ;-1[$ و $]1;+\infty [$ ، و $f^{\prime }(x)<0$ على $]-1;1[$.

$f(-1)=3$ (قيمة حدية عظمى) ؛ $f(1)=-1$ (قيمة حدية صغرى) ؛ جدول التغيرات.

3) $f(-2)=-1<0$ و $f(-1)=3>0$ ؛ $f(0)=1>0$ و $f(1)=-1<0$ ؛ $f(2)=3>0$. $f$ مستمرة ورتيبة تمامًا على كل من $[-2;-1]$ ، $[0;1]$ ، $[1;2]$ ، فحسب مبرهنة القيم المتوسطة تقبل المعادلة حلًا وحيدًا في كل مجال، أي ثلاثة حلول.

4) $f(0,3)=0,027-0,9+1=0,127>0$ و $f(0,4)=0,064-1,2+1=-0,136<0$ ، إذن $0,3<\alpha <0,4$.

5) $f(-x)+f(x)=(-x^3+3x+1)+(x^3-3x+1)=2=2\times 1$ ، و $\mathbb{R}$ متناظرة بالنسبة لـ $0$ ، إذن $I(0;1)$ مركز تناظر.

6) $f^{\prime }(0)=-3$ ، $f(0)=1$ ← $(T):y=-3x+1$

7) رسم $(T)$ و $(C_f)$ (احترام القيم الحدية، نقط التقاطع مع محور الفواصل، مركز التناظر).