Mathematics exam – Term 1 – 2nd year secondary (n°2)

1) $P(1)=1-2-5+6=0$ ، إذن $1$ جذر.

2) بالنشر: $(x-1)(a{x}^2+bx+c)=a{x}^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$

بالمطابقة: $a=1$ ، $b-a=-2$ ومنه $b=-1$ ، $-c=6$ ومنه $c=-6$: $P(x)=(x-1)(x^2-x-6)$

3) $x^2-x-6$: $\Delta =25$ ، جذراه $3$ و $-2$ ، إذن $P(x)=(x-1)(x-3)(x+2)$

$S=\{-2;1;3\}$

4) جدول الإشارة: $P(x)<0$ على $]-\infty ;-2[\cup ]1;3[$ ، و $P(x)>0$ على $]-2;1[\cup ]3;+\infty [$

$P(x)>0$ يكافئ $x\in ]-2;1[\cup ]3;+\infty [$

1) $1+\frac{1}{x-2}=\frac{x-2+1}{x-2}=\frac{x-1}{x-2}=g(x)$

2) $g(x)=\frac{1}{x-2}+1$ ، إذن $(C_g)$ صورة منحنى الدالة مقلوب بالانسحاب الذي شعاعه $\vec{v}(2;1)$.

3) المستقيمان المقاربان: $x=2$ (عمودي) و $y=1$ (أفقي).

مركز التناظر: $\Omega (2;1)$

$g$ متناقصة تمامًا على $]-\infty ;2[$ وعلى $]2;+\infty [$ (كدالة المقلوب).

1) $2(x+L)=40$ ومنه $L=20-x$

بما أن $x>0$ و $20-x>0$: $x\in ]0;20[$

2) $A(x)=x(20-x)=-x^2+20x$

3) $A(x)=-(x^2-20x)=-\left[(x-10{)}^2-100\right]=-(x-10{)}^2+100$

4) $-(x-10{)}^2\le 0$ ، إذن $A(x)\le 100$ والقيمة العظمى تُبلغ عند $x=10$.

القطعة مربع ضلعه $10\text{m}$ ، ومساحتها العظمى $100{\text{m}}^2$.