Sujet type Mathématiques – Baccalauréat sujet 2 (n°2)

1) $u_1=\frac{1}{2}(2)+3=4$ ؛ $u_2=\frac{1}{2}(4)+3=5$

2) من أجل $n=0$: $u_0=2<6$ ، الخاصية صحيحة.

نفرض $u_n<6$ ، إذن $\frac{1}{2}{u}_n<3$ ومنه $\frac{1}{2}{u}_n+3<6$ أي $u_{n+1}<6$. إذن من أجل كل $n$: $u_n<6$.

3) $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{2}{u}_n+3=\frac{6-u_n}{2}>0$ لأن $u_n<6$ ، إذن $(u_n)$ متزايدة تمامًا.

$(u_n)$ متزايدة ومحدودة من الأعلى بـ $6$ ، إذن هي متقاربة.

4-أ) $v_{n+1}=u_{n+1}-6=\frac{1}{2}{u}_n-3=\frac{1}{2}(u_n-6)=\frac{1}{2}{v}_n$ ؛ متتالية هندسية أساسها $q=\frac{1}{2}$ وحدها الأول $v_0=-4$.

ب) $v_n=-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ومنه $u_n=6-4{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

بما أن $0<\frac{1}{2}<1$ فإن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0$ ، إذن $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=6$

ج) $S_n=v_0\times \frac{1-q^{n+1}}{1-q}=-4\times \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}}{\frac{1}{2}}=-8\left[1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n+1}\right]$

1) $\Delta =(2\sqrt{3}{)}^2-16=-4=(2i{)}^2$

$z_1=\frac{2\sqrt{3}-2i}{2}=\sqrt{3}-i$ ؛ $z_2=\sqrt{3}+i$

2-أ) $|z_A|=\sqrt{3+1}=2$ و $\cos \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ ، $\sin \theta =\frac{1}{2}$ ، إذن $z_A=2e^{i\frac{\pi }{6}}$ ؛ و $z_B=\overline{z_A}=2e^{-i\frac{\pi }{6}}$

ب) $OA=|z_A|=2$ ، $OB=|z_B|=2$ ، $OC=|2i|=2$ ، إذن النقط $A,B,C$ تنتمي إلى الدائرة التي مركزها $O$ ونصف قطرها $2$.

3) $\frac{z_C-z_A}{z_B-z_A}=\frac{-\sqrt{3}+i}{-2i}=\frac{(-\sqrt{3}+i)i}{2}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

$=e^{-i\frac{2\pi }{3}}$

إذن $\frac{AC}{AB}=1$ أي $AC=AB$ ، و $\left(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}\right)=-\frac{2\pi }{3}$: المثلث $ABC$ متساوي الساقين رأسه الأساسي $A$ وقيس زاويته $\frac{2\pi }{3}$.

4) العبارة المركبة للدوران: $z^{\prime }=e^{i\frac{\pi }{2}}z=iz$ ، ومنه $z_D=i(\sqrt{3}+i)=-1+i\sqrt{3}$

عدد الحالات الممكنة: $C_7^2=21$

1) $P(E)=\frac{C_4^2+C_3^2}{21}=\frac{6+3}{21}=\frac{3}{7}$

2) $\overline{F}$: «الكريتان حمراوان»، $P(F)=1-\frac{C_4^2}{21}=1-\frac{6}{21}=\frac{5}{7}$

3-أ) قيم $X$: $\{0;1;2\}$

$P(X=0)=\frac{C_3^2}{21}=\frac{1}{7}$ ؛ $P(X=1)=\frac{C_4^1\times C_3^1}{21}=\frac{4}{7}$ ؛ $P(X=2)=\frac{C_4^2}{21}=\frac{2}{7}$

(تحقق: $\frac{1}{7}+\frac{4}{7}+\frac{2}{7}=1$)

ب) $E(X)=0\times \frac{1}{7}+1\times \frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}=\frac{8}{7}$

1) $\underset{x\to -\infty }{\lim }(2-x)e^x=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(2e^x-x{e}^x\right)=0$ ، إذن $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-2$

التفسير: المستقيم $(\Delta ):y=-2$ مقارب أفقي لـ $(C_f)$ بجوار $-\infty$.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }(2-x)=-\infty$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^x=+\infty$ ، إذن $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-\infty$

2) $f^{\prime }(x)=-e^x+(2-x)e^x=(1-x)e^x$

بما أن $e^x>0$: $f^{\prime }(x)>0$ على $]-\infty ;1[$ و $f^{\prime }(x)<0$ على $]1;+\infty [$ ، إذن $f$ متزايدة تمامًا على $]-\infty ;1]$ ومتناقصة تمامًا على $[1;+\infty [$.

جدول التغيرات: $f$ تتزايد من $-2$ إلى $f(1)=e-2$ ثم تتناقص إلى $-\infty$.

3) $f(0)=0$ ، $f^{\prime }(0)=1$ ، إذن $(T):y=x$

4) $f(0)=2-2=0$ ، إذن $0$ حل للمعادلة.

على $]-\infty ;1]$: $f$ متزايدة تمامًا فالحل $0$ وحيد فيه.

على $[1;+\infty [$: $f$ مستمرة ومتناقصة تمامًا، و $f(1,59)\approx 0,011>0$ ، $f(1,6)\approx -0,019<0$ ، فحسب مبرهنة القيم المتوسطة يوجد حل وحيد $\alpha$ حيث $1,59<\alpha <1,6$.

5) $f(x)-(-2)=(2-x)e^x$ ، إشارتها من إشارة $(2-x)$: $(C_f)$ فوق $(\Delta )$ على $]-\infty ;2[$ ، وتحته على $]2;+\infty [$ ، ويقطعه في النقطة $(2;-2)$.

الرسم: المماس $(T)$ ثم المنحنى $(C_f)$ مع احترام النتائج السابقة.

6) $F^{\prime }(x)=-e^x+(3-x)e^x-2=(2-x)e^x-2=f(x)$ ، إذن $F$ دالة أصلية لـ $f$.

على $[0;1]$: $f(x)\ge 0$ (لأن $f$ متزايدة و $f(0)=0$).

$\mathcal{A}={\int }_0^{1}f(x)dx=F(1)-F(0)=(2e-2)-3=(2e-5)\text{u.a}\approx 0,44\text{u.a}$