4AM math term 1 exam with integration task and answers

ExamTerm 12 pagesPDF 85 KBWith answers

اختبار الفصل الأول في الرياضيات

Duration: ساعتان

الجزء الأول (12 نقطة)

احسب $PGCD (819; 546)$ .
اختزل الكسر $\frac{546}{819}$ إلى كسر غير قابل للاختزال.
احسب العدد $A = \frac{546}{819} + \frac{5}{6}$ واكتبه على شكل كسر غير قابل للاختزال.

B = 350 - 8 + 18 C = (5 + 2) (5 - 2)

لتكن العبارة: $F = 9 x^{2} - 16 + (3 x + 4) (x - 2)$

$A B C$ مثلث حيث: $A B = 5 cm$ ، $A C = 12 cm$ ، $B C = 13 cm$ .

بيّن أن المثلث $A B C$ قائم في $A$ .
$E$ نقطة من $[A B]$ حيث $A E = 2 cm$ . المستقيم الذي يشمل $E$ ويوازي $(B C)$ يقطع $[A C]$ في النقطة $F$ .
احسب الطولين $A F$ و $E F$ .

الجزء الثاني (8 نقاط)

يريد عمي أحمد بناء منحدر أمام محله التجاري لتسهيل دخول الأشخاص على الكراسي المتحركة. ارتفاع عتبة المحل عن الأرض $0, 5 m$ .

تشترط المعايير ألّا تتجاوز زاوية ميل المنحدر $α$ مع الأرض $5^{\circ}$ .

اقترح عليه البنّاء منحدرًا مسافته الأفقية $4 m$ . احسب زاوية الميل $α$ (دوّر إلى الوحدة). هل يحترم هذا المنحدر المعايير؟ علّل.
احسب أصغر مسافة أفقية تجعل زاوية الميل تساوي $5^{\circ}$ بالضبط (دوّر إلى $0, 01$ ).
احسب في هذه الحالة طول المنحدر (دوّر إلى $0, 01$ ).
ثمن المتر الواحد من المنحدر $4500 DA$ ، ويملك عمي أحمد $25000 DA$ . هل المبلغ كافٍ؟ وإن لم يكن، كم ينقصه؟

Show the answers

الجزء الأول

$819 = 1 \times 546 + 273$ ، $546 = 2 \times 273 + 0$ ، إذن $PGCD (819; 546) = 273$ .
$\frac{546}{819} = \frac{546 \div 273}{819 \div 273} = \frac{2}{3}$
$A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

$350 = 3 \times 52 = 152$ ، $8 = 22$ ، $18 = 32$ $B = 152 - 22 + 32 = 162$
نستعمل المتطابقة $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ : $C = (5)^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$ إذن $C$ عدد طبيعي.

$(3 x + 4) (x - 2) = 3 x^{2} - 6 x + 4 x - 8 = 3 x^{2} - 2 x - 8$ $F = 9 x^{2} - 16 + 3 x^{2} - 2 x - 8 = 12 x^{2} - 2 x - 24$
$9 x^{2} - 16 = (3 x)^{2} - 4^{2} = (3 x - 4) (3 x + 4)$ $F = (3 x + 4) (3 x - 4) + (3 x + 4) (x - 2) = (3 x + 4) (3 x - 4 + x - 2) = (3 x + 4) (4 x - 6) = 2 (3 x + 4) (2 x - 3)$
$3 x + 4 = 0$ أي $x = - \frac{4}{3}$ أو $2 x - 3 = 0$ أي $x = \frac{3}{2}$ .

$B C^{2} = 1 3^{2} = 169$ و $A B^{2} + A C^{2} = 25 + 144 = 169$ .
بما أن $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ، حسب الخاصية العكسية لمبرهنة فيثاغورس المثلث $A B C$ قائم في $A$ .
$(E F) ∥ (B C)$ ، حسب مبرهنة طالس: $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{E F}{B C} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{A F}{12} = \frac{E F}{13}$ $A F = \frac{2 \times 12}{5} = 4, 8 cm E F = \frac{2 \times 13}{5} = 5, 2 cm$

الجزء الثاني

المنحدر والأرض والعتبة تشكّل مثلثًا قائمًا. الارتفاع مقابل للزاوية $α$ والمسافة الأفقية مجاورة لها: $tan α = \frac{0 , 5}{4} = 0, 125 \Rightarrow α \approx 7^{\circ}$ بما أن $7^{\circ} > 5^{\circ}$ فإن هذا المنحدر لا يحترم المعايير (ميله كبير).
نريد $α = 5^{\circ}$ : $tan 5^{\circ} = \frac{0 , 5}{d} \Rightarrow d = \frac{0 , 5}{tan 5 ^{\circ}} \approx \frac{0 , 5}{0 , 0875} \approx 5, 72 m$
طول المنحدر $L$ هو الوتر: $sin 5^{\circ} = \frac{0 , 5}{L} \Rightarrow L = \frac{0 , 5}{sin 5 ^{\circ}} \approx \frac{0 , 5}{0 , 0872} \approx 5, 74 m$
الثمن: $5, 74 \times 4500 = 25830 DA$ .
بما أن $25830 > 25000$ ، المبلغ غير كافٍ، وينقصه: $25830 - 25000 = 830 DA$ .

Two-hour mock exam: GCD, roots, algebra, Pythagoras and Thales, plus a real-life ramp problem using trigonometry. Full answers.