Examen du 1er trimestre de mathématiques 4AM avec situation d’intégration et corrigé

Examen1er trimestre2 pagesPDF 85 KBAvec corrigé

Télécharger le sujet (PDF) Télécharger le corrigé (PDF)

اختبار الفصل الأول في الرياضيات

Durée: ساعتان

الجزء الأول (12 نقطة)

التمرين الأول (3 نقاط)

احسب $PGCD (819; 546)$ .
اختزل الكسر $\frac{546}{819}$ إلى كسر غير قابل للاختزال.
احسب العدد $A = \frac{546}{819} + \frac{5}{6}$ واكتبه على شكل كسر غير قابل للاختزال.

التمرين الثاني (3 نقاط)

B = 350 - 8 + 18 C = (5 + 2) (5 - 2)

اكتب $B$ على الشكل $b 2$ حيث $b$ عدد طبيعي.
بيّن أن $C$ عدد طبيعي.

التمرين الثالث (3 نقاط)

لتكن العبارة: $F = 9 x^{2} - 16 + (3 x + 4) (x - 2)$

انشر وبسّط العبارة $F$ .
حلّل $9 x^{2} - 16$ ، ثم حلّل العبارة $F$ .
حل المعادلة $(3 x + 4) (2 x - 3) = 0$ .

التمرين الرابع (3 نقاط)

$A B C$ مثلث حيث: $A B = 5 cm$ ، $A C = 12 cm$ ، $B C = 13 cm$ .

بيّن أن المثلث $A B C$ قائم في $A$ .
$E$ نقطة من $[A B]$ حيث $A E = 2 cm$ . المستقيم الذي يشمل $E$ ويوازي $(B C)$ يقطع $[A C]$ في النقطة $F$ .
احسب الطولين $A F$ و $E F$ .

الجزء الثاني (8 نقاط)

الوضعية الإدماجية (8 نقاط)

يريد عمي أحمد بناء منحدر أمام محله التجاري لتسهيل دخول الأشخاص على الكراسي المتحركة. ارتفاع عتبة المحل عن الأرض $0, 5 m$ .

تشترط المعايير ألّا تتجاوز زاوية ميل المنحدر $α$ مع الأرض $5^{\circ}$ .

اقترح عليه البنّاء منحدرًا مسافته الأفقية $4 m$ . احسب زاوية الميل $α$ (دوّر إلى الوحدة). هل يحترم هذا المنحدر المعايير؟ علّل.
احسب أصغر مسافة أفقية تجعل زاوية الميل تساوي $5^{\circ}$ بالضبط (دوّر إلى $0, 01$ ).
احسب في هذه الحالة طول المنحدر (دوّر إلى $0, 01$ ).
ثمن المتر الواحد من المنحدر $4500 DA$ ، ويملك عمي أحمد $25000 DA$ . هل المبلغ كافٍ؟ وإن لم يكن، كم ينقصه؟

Afficher le corrigé

الجزء الأول

حل التمرين الأول

$819 = 1 \times 546 + 273$ ، $546 = 2 \times 273 + 0$ ، إذن $PGCD (819; 546) = 273$ .
$\frac{546}{819} = \frac{546 \div 273}{819 \div 273} = \frac{2}{3}$
$A = \frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$

حل التمرين الثاني

$350 = 3 \times 52 = 152$ ، $8 = 22$ ، $18 = 32$ $B = 152 - 22 + 32 = 162$
نستعمل المتطابقة $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ : $C = (5)^{2} - 2^{2} = 5 - 4 = 1$ إذن $C$ عدد طبيعي.

حل التمرين الثالث

$(3 x + 4) (x - 2) = 3 x^{2} - 6 x + 4 x - 8 = 3 x^{2} - 2 x - 8$ $F = 9 x^{2} - 16 + 3 x^{2} - 2 x - 8 = 12 x^{2} - 2 x - 24$
$9 x^{2} - 16 = (3 x)^{2} - 4^{2} = (3 x - 4) (3 x + 4)$ $F = (3 x + 4) (3 x - 4) + (3 x + 4) (x - 2) = (3 x + 4) (3 x - 4 + x - 2) = (3 x + 4) (4 x - 6) = 2 (3 x + 4) (2 x - 3)$
$3 x + 4 = 0$ أي $x = - \frac{4}{3}$ أو $2 x - 3 = 0$ أي $x = \frac{3}{2}$ .

حل التمرين الرابع

$B C^{2} = 1 3^{2} = 169$ و $A B^{2} + A C^{2} = 25 + 144 = 169$ .
بما أن $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ ، حسب الخاصية العكسية لمبرهنة فيثاغورس المثلث $A B C$ قائم في $A$ .
$(E F) ∥ (B C)$ ، حسب مبرهنة طالس: $\frac{A E}{A B} = \frac{A F}{A C} = \frac{E F}{B C} \Rightarrow \frac{2}{5} = \frac{A F}{12} = \frac{E F}{13}$ $A F = \frac{2 \times 12}{5} = 4, 8 cm E F = \frac{2 \times 13}{5} = 5, 2 cm$

الجزء الثاني

حل الوضعية الإدماجية

المنحدر والأرض والعتبة تشكّل مثلثًا قائمًا. الارتفاع مقابل للزاوية $α$ والمسافة الأفقية مجاورة لها: $tan α = \frac{0 , 5}{4} = 0, 125 \Rightarrow α \approx 7^{\circ}$ بما أن $7^{\circ} > 5^{\circ}$ فإن هذا المنحدر لا يحترم المعايير (ميله كبير).
نريد $α = 5^{\circ}$ : $tan 5^{\circ} = \frac{0 , 5}{d} \Rightarrow d = \frac{0 , 5}{tan 5 ^{\circ}} \approx \frac{0 , 5}{0 , 0875} \approx 5, 72 m$
طول المنحدر $L$ هو الوتر: $sin 5^{\circ} = \frac{0 , 5}{L} \Rightarrow L = \frac{0 , 5}{sin 5 ^{\circ}} \approx \frac{0 , 5}{0 , 0872} \approx 5, 74 m$
الثمن: $5, 74 \times 4500 = 25830 DA$ .
بما أن $25830 > 25000$ ، المبلغ غير كافٍ، وينقصه: $25830 - 25000 = 830 DA$ .

Examen type (2 h) : PGCD, racines, calcul littéral, Pythagore et Thalès, puis situation d’intégration sur une rampe d’accès (trigonométrie). Corrigé détaillé.

Autres fichiers de la même matière

Tout voir