Résumé des cours du 1er trimestre de mathématiques 4AM

1. القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

• خوارزمية إقليدس: نقسم العدد الأكبر على الأصغر، ثم المقسوم عليه على الباقي، ونكرر. آخر باقٍ غير معدوم هو $\mathrm{PGCD}$.
• خوارزمية الطرح: $\mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;a-b)$ حيث $a>b$.
• عددان أوليان فيما بينهما إذا كان $\mathrm{PGCD}(a;b)=1$.
• لجعل كسر غير قابل للاختزال: نقسم بسطه ومقامه على $\mathrm{PGCD}$ لهما.

2. الجذور التربيعية

من أجل $a\ge 0$ و $b\ge 0$:

• انتبه: $\sqrt{a+b}\ne \sqrt{a}+\sqrt{b}$ ، مثلًا $\sqrt{9+16}=5$ بينما $\sqrt{9}+\sqrt{16}=7$.
• التبسيط: نبحث عن أكبر مربع تام يقسم العدد: $\sqrt{72}=\sqrt{36\times 2}=6\sqrt{2}$.
• جعل المقام ناطقًا: $\frac{a}{\sqrt{b}}=\frac{a\sqrt{b}}{b}$.
• حلول المعادلة $x^2=a$: إذا $a>0$ حلان $\sqrt{a}$ و $-\sqrt{a}$ ، إذا $a=0$ حل وحيد $0$ ، إذا $a<0$ لا حلول.

3. الحساب الحرفي

المتطابقات الشهيرة:

• النشر: تحويل جداء إلى مجموع: $k(a+b)=ka+kb$.
• التحليل: تحويل مجموع إلى جداء، بإخراج عامل مشترك أو باستعمال متطابقة شهيرة.
• معادلة جداء معدوم: $A\times B=0$ يعني $A=0$ أو $B=0$.

4. خاصية طالس وعكسها

• مبرهنة طالس: إذا كانت $M\in (AB)$ و $N\in (AC)$ و $(MN)\parallel (BC)$ فإن:
  $$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$$
• الخاصية العكسية: إذا كانت النقط $A,M,B$ والنقط $A,N,C$ في استقامية وبنفس الترتيب و $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ فإن $(MN)\parallel (BC)$.
• لإثبات أن المستقيمين غير متوازيين يكفي أن نجد $\frac{AM}{AB}\ne \frac{AN}{AC}$.

5. حساب المثلثات في المثلث القائم

في مثلث قائم، من أجل زاوية حادة $\alpha$:

• $0<\cos \alpha <1$ و $0<\sin \alpha <1$.
• ${\cos }^2\alpha +{\sin }^2\alpha =1$ و $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$.
• لحساب طول: نختار النسبة التي تجمع الطول المعلوم والطول المطلوب. لحساب زاوية: نستعمل الآلة الحاسبة (${\cos }^{-1}$ ، ${\sin }^{-1}$ ، ${\tan }^{-1}$) في وضع الدرجات DEG.