Devoir 1 du 1er trimestre de mathématiques 4AM : PGCD, racines carrées et calcul littéral

Devoir1er trimestre1 pagePDF 74 KBAvec corrigé

الفرض الأول للفصل الأول في الرياضيات

Durée: ساعة واحدة

احسب القاسم المشترك الأكبر للعددين $1053$ و $325$ باستعمال خوارزمية إقليدس.
اكتب الكسر $\frac{325}{1053}$ على شكل كسر غير قابل للاختزال.
لدى صاحب مكتبة $1053$ قلمًا و $325$ كراسًا، يريد توزيعها كلها في علب متماثلة (لها نفس عدد الأقلام ونفس عدد الكراريس) مستعملًا أكبر عدد ممكن من العلب.
• ما هو عدد العلب؟ • ما هو محتوى كل علبة؟

لتكن الأعداد الحقيقية:

A = 75 - 227 + 12 B = (23 - 1)^{2} C = \frac{6}{3}

لتكن العبارة: $E = (2 x - 3)^{2} - (2 x - 3) (x + 4)$

Afficher le corrigé

نطبق خوارزمية إقليدس: $1053 = 3 \times 325 + 78325 = 4 \times 78 + 1378 = 6 \times 13 + 0$ آخر باقٍ غير معدوم هو $13$ ، إذن: $PGCD (1053; 325) = 13$
نقسم البسط والمقام على $13$ : $\frac{325}{1053} = \frac{325 \div 13}{1053 \div 13} = \frac{25}{81}$ الكسر $\frac{25}{81}$ غير قابل للاختزال لأننا قسمنا على القاسم المشترك الأكبر.
عدد العلب يجب أن يقسم $1053$ و $325$ معًا، وأكبر عدد ممكن هو قاسمهما المشترك الأكبر: $13$ علبة.
محتوى كل علبة: $1053 \div 13 = 81$ قلمًا و $325 \div 13 = 25$ كراسًا.

$75 = 25 \times 3 = 53$ ، $27 = 33$ ، $12 = 23$ $A = 53 - 63 + 23 = 3$ إذن $A = 1 \times 3$ أي $a = 1$ .
نستعمل المتطابقة $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$ : $B = (23)^{2} - 2 \times 23 \times 1 + 1^{2} = 12 - 43 + 1 = 13 - 43$
نضرب البسط والمقام في $3$ : $C = \frac{6 \times 3}{3 \times 3} = \frac{6 3}{3} = 23$ وبما أن $A = 3$ فإن $2 A = 23 = C$ .

$(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ ، $(2 x - 3) (x + 4) = 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$ $E = 4 x^{2} - 12 x + 9 - 2 x^{2} - 5 x + 12 = 2 x^{2} - 17 x + 21$
العامل المشترك هو $(2 x - 3)$ : $E = (2 x - 3) [(2 x - 3) - (x + 4)] = (2 x - 3) (2 x - 3 - x - 4) = (2 x - 3) (x - 7)$
من أجل $x = - 1$ : $E = 2 (- 1)^{2} - 17 (- 1) + 21 = 2 + 17 + 21 = 40$
(تحقق بالشكل المحلل: $(- 5) \times (- 8) = 40$ )
الجداء معدوم إذا كان أحد عامليه معدومًا:
$2 x - 3 = 0$ أي $x = \frac{3}{2}$ أو $x - 7 = 0$ أي $x = 7$ .
للمعادلة حلان: $\frac{3}{2}$ و $7$ .

Devoir corrigé de 4AM (1 h) : PGCD par l’algorithme d’Euclide, racines carrées, développement, factorisation et équation produit nul.