Mathematics mock paper – Baccalaureate (BAC) sujet 5 (n°5)

Mock paper2 pagesPDF 89 KBWith answers

Download paper (PDF) Download answers (PDF)

موضوع تجريبي لشهادة البكالوريا في الرياضيات — شعبة علوم تجريبية (النموذج 5)

Duration: ثلاث ساعات ونصف

التمرين الأول (04 نقاط)

ينتج مصنع مصابيح كهربائية، نسبة المصابيح المعيبة فيها $5%$ . نأخذ عشوائيًا $4$ مصابيح من الإنتاج (نعتبر السحوبات مستقلة). ليكن $X$ المتغير العشوائي الذي يرفق بكل سحب عدد المصابيح المعيبة.

برّر أن $X$ يتبع قانونًا ثنائي الحد، وعيّن وسيطيه.
احسب $P (X = 0)$ و $P (X = 1)$ (تدوّر النتائج إلى $1 0^{- 4}$ ).
استنتج احتمال الحصول على مصباح معيب واحد على الأقل.
احسب الأمل الرياضياتي $E (X)$ وفسّر النتيجة.

التمرين الثاني (04 نقاط)

$(u_{n})$ المتتالية المعرفة بـ: $u_{0} = 0$ ومن أجل كل عدد طبيعي $n$ : $u_{n + 1} = \frac{1}{3} u_{n} + 2$ .

احسب $u_{1}$ و $u_{2}$ .
نضع $v_{n} = u_{n} - 3$ . بيّن أن $(v_{n})$ متتالية هندسية يُطلب تعيين أساسها وحدها الأول.
اكتب $v_{n}$ ثم $u_{n}$ بدلالة $n$ ، واحسب $n \to + \infty lim u_{n}$ .
احسب بدلالة $n$ المجموع $S_{n} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n}$ .

التمرين الثالث (05 نقاط)

المستوي منسوب إلى معلم متعامد ومتجانس $(O; u, v)$ .

حل في مجموعة الأعداد المركبة $C$ المعادلة: $z^{2} - 2 z + 4 = 0$ .
نسمي $A$ و $B$ النقطتين اللتين لاحقتاهما $z_{A} = 1 + i 3$ و $z_{B} = 1 - i 3$ . اكتب $z_{A}$ و $z_{B}$ على الشكل الأسي.
بيّن أن المثلث $O A B$ متقايس الساقين وعيّن طبيعته بدقة.
$R$ الدوران الذي مركزه $O$ وزاويته $\frac{π}{3}$ . عيّن على الشكل الجبري لاحقة النقطة $C$ صورة $A$ بالدوران $R$ .
عيّن قيم العدد الطبيعي $n$ التي يكون من أجلها $(z_{A})^{n}$ عددًا حقيقيًا.

التمرين الرابع (07 نقاط)

I. $g$ الدالة المعرفة على $] 0; + \infty [$ بـ: $g (x) = x^{2} - 1 + ln x$ .

ادرس اتجاه تغير الدالة $g$ .
احسب $g (1)$ ، ثم استنتج إشارة $g (x)$ على $] 0; + \infty [$ .

II. $f$ الدالة المعرفة على $] 0; + \infty [$ بـ: $f (x) = x - 1 - \frac{ln x}{x}$ ، و $(C_{f})$ تمثيلها البياني.

احسب $x \to 0^{+} lim f (x)$ وفسّر النتيجة بيانيًا، ثم احسب $x \to + \infty lim f (x)$ .
بيّن أنه من أجل كل $x > 0$ : $f^{'} (x) = \frac{g ( x )}{x ^{2}}$ ، ثم شكّل جدول تغيرات $f$ .
بيّن أن المستقيم $(Δ) : y = x - 1$ مقارب مائل لـ $(C_{f})$ ، وادرس الوضع النسبي لـ $(C_{f})$ و $(Δ)$ .
أنشئ $(Δ)$ و $(C_{f})$ .
احسب مساحة الحيز المستوي المحدد بـ $(C_{f})$ و $(Δ)$ والمستقيمين $x = 1$ و $x = e$ .

Show the answers

التمرين الأول

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) نكرر $4$ مرات تجربة مستقلة لها نتيجتان (معيب باحتمال $0, 05$ أو سليم)، إذن $X$ يتبع قانون ثنائي الحد بالوسيطين $n = 4$ و $p = 0, 05$ .	1	4
2) $P (X = 0) = (0, 95)^{4} \approx 0, 8145$	0,5
$P (X = 1) = C_{4}^{1} \times 0, 05 \times (0, 95)^{3} \approx 0, 1715$	1
3) $P (X \geq 1) = 1 - P (X = 0) \approx 0, 1855$	0,75
4) $E (X) = n p = 4 \times 0, 05 = 0, 2$ ؛ أي في المتوسط $0, 2$ مصباح معيب في كل $4$ مصابيح (مصباح معيب واحد في كل $20$ مصباحًا).	0,75

التمرين الثاني

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) $u_{1} = 2$ ، $u_{2} = \frac{2}{3} + 2 = \frac{8}{3}$	0,5	4
2) $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 3 = \frac{1}{3} u_{n} - 1 = \frac{1}{3} (u_{n} - 3) = \frac{1}{3} v_{n}$ ؛ متتالية هندسية أساسها $q = \frac{1}{3}$ وحدها الأول $v_{0} = - 3$ .	1
3) $v_{n} = - 3 (\frac{1}{3})^{n}$ و $u_{n} = 3 - 3 (\frac{1}{3})^{n}$ ؛ بما أن $0 < \frac{1}{3} < 1$ فإن $n \to + \infty lim u_{n} = 3$ .	1
4) $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} (v_{k} + 3) = 3 (n + 1) + v_{0} \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} = 3 (n + 1) - \frac{9}{2} [1 - (\frac{1}{3})^{n + 1}]$	1,5

التمرين الثالث

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
1) $Δ = 4 - 16 = - 12 = (2 i 3)^{2}$ ؛ الحلان: $z_{1} = 1 + i 3$ و $z_{2} = 1 - i 3$ .	1	5
2) $∣ z_{A} ∣ = 2$ ، $z_{A} = 2 e^{i \frac{π}{3}}$ و $z_{B} = z_{A} = 2 e^{- i \frac{π}{3}}$ .	1
3) $O A = O B = 2$ و $A B = ∣ z_{B} - z_{A} ∣ = ∣ - 2 i 3 ∣ = 23$ ؛ متقايس الساقين رأسه $O$ ، وزاويته $A O B = \frac{2 π}{3}$ .	1
4) $z_{C} = e^{i \frac{π}{3}} z_{A} = 2 e^{i \frac{2 π}{3}} = - 1 + i 3$ .	1
5) $(z_{A})^{n} = 2^{n} e^{i \frac{nπ}{3}}$ حقيقي إذا وفقط إذا $\frac{nπ}{3} = k π$ ، أي $n = 3 k$ ( $k \in N$ ): $n$ مضاعف للعدد $3$ .	1

التمرين الرابع

عناصر الإجابة	العلامة مجزأة	المجموع
I.1) $g^{'} (x) = 2 x + \frac{1}{x} > 0$ على $] 0; + \infty [$ ، إذن $g$ متزايدة تمامًا.	0,75	7
2) $g (1) = 0$ ؛ إذن $g (x) < 0$ على $] 0; 1 [$ و $g (x) > 0$ على $] 1; + \infty [$ .	0,75
II.1) $x \to 0^{+} lim \frac{ln x}{x} = - \infty$ ، إذن $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ ؛ محور التراتيب مقارب عمودي. و $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ ، إذن $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .	1
2) $f^{'} (x) = 1 - \frac{1 - ln x}{x ^{2}} = \frac{x ^{2} - 1 + ln x}{x ^{2}} = \frac{g ( x )}{x ^{2}}$ ؛ إشارتها من إشارة $g (x)$ : $f$ متناقصة على $] 0; 1]$ ومتزايدة على $[1; + \infty [$ ، وقيمتها الحدية الصغرى $f (1) = 0$ .	1,5
3) $f (x) - (x - 1) = - \frac{ln x}{x} \to 0$ عند $+ \infty$ ، إذن $(Δ)$ مقارب مائل. على $] 0; 1 [$ : $(C_{f})$ فوق $(Δ)$ ؛ على $] 1; + \infty [$ : $(C_{f})$ تحت $(Δ)$ ؛ يتقاطعان في النقطة $(1; 0)$ .	1
4) الإنشاء حسب جدول التغيرات والمقاربين.	1
5) على $[1; e]$ المنحنى تحت المستقيم: $A = \int_{1}^{e} \frac{ln x}{x} d x = [\frac{( ln x ) ^{2}}{2}]_{1}^{e} = \frac{1}{2} u.a$	1

Mathematics mock paper – Baccalaureate (BAC) sujet 5 (n°5). Free PDF following the Algerian curriculum, with a model answer key, to preview and download for Baccalaureate (BAC) Mathematics revision.

More files in this subject

See all